このテーマを詳細に解説すると長文になるので、基礎的な部分を簡潔に回答したいと思います。
一般的なコアには鉛が使用されています。鉛は比重が重く、他の同サイズのコアと比べて空気抵抗による減速が少ないことで長距離射撃に適していたり、柔らかく変形しやすいためソフトポイント弾といった着弾の瞬間から停止までの間に潰れてマッシュルーミングが起こる弾で高いストッピングパワーを持ちます。
他には、スチール、銅、銅合金、ビスマス、タングステン、炭化タングステン、劣化ウランなどがありますが、これらは硬度が高く変形しにくいため貫通力が高く、アーマーピアシング弾などに使用されますが、比重が軽く長距離を飛翔すると弾速や弾の回転が減速することで空中でバランスを失いやすいため、命中率が低下する問題があります。そのため、先端に硬度の高い素材を使用し、後部に鉛を使用するといったハイブリット型のコアも多数存在します。
また、鉛は土壌汚染や動物の誤飲による環境汚染問題がありますが、スチールの場合は環境にやさしく、アメリカでは鉛のコアをハンティングで使用できない地域が多くなっています。
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